DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

En las empresas y en el mundo de los negocios, la teoría de la probabilidad es muy importante debido a que nos brinda herramientas para tomar una mejor decisión ante el futuro.

Los modelos de probabilidad, que son representaciones de la realidad, pueden ayudarnos a optimizar la ganancia de nuestro negocio teniendo en cuenta los riesgos al momento de realizar una inversión, optimizar el sistema del servicio al cliente de una compañía creando políticas para evitar la pérdida de clientes, y hasta crear nuevas estrategias competitivas a largo plazo según el mercado.

Ahora bien, ¿qué es exactamente la probabilidad? La probabilidad es un valor entre 0 y 1 que describe la posibilidad de ocurrencia de un acontecimiento. Donde 1 representa que el acontecimiento sucederá muy seguramente y 0 que el acontecimiento con seguridad no sucederá.

Tomemos, por ejemplo, como un acontecimiento el lanzamiento de una moneda. En este acontecimiento, tenemos como posibles resultados: Cara o sello, y las respectivas probabilidades son: si cae cara 0.5 (1/2) o si cae sello 0.5 (1/2).

Como podemos observar, si tomamos las probabilidades de ocurrencia de los resultados de un acontecimiento y los sumamos siempre nos debe dar 1.

Todos los acontecimientos tienen variables aleatorias (características medibles), éstas pueden ser de tipo continua o discreta.

Las variables de tipo discretas son aquellas cuyos resultados se pueden contar o son separables (por ejemplo, la cantidad de caras en el lanzamiento de 3 monedas, el número de faltas de un partido de fútbol, libros vendidos en un mes, etc). 

Las continuas son aquellas que tienen un número incontable de valores pero limitado (por ejemplo, los tiempos de vuelos entre una ciudad y otra, la presión de los neumáticos de un carro, etc).

PROBABILIDAD CLASICA:

Extraer canicas de colores de una bolsa 

Dentro de una bolsa puede haber N canicas de colores, por ejemplo hay R canicas rojas, A canicas azules y V canicas verdes. La probabilidad de extraer una roja es:

P(R) = R / N

Ejemplo:

Se lanza una vez un dado honesto. Calcular las siguientes probabilidades:

a) Sacar un número impar.

b) Que salga un 2 o un 5.

c) Sacar un valor menor que 4.

d) Obtener un valor menor o igual que 4.

e) Sacar un valor diferente de 3.

Solución a

El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, los valores impares son 1, 3 y 5, por lo tanto de 6 casos posibles, hay tres casos favorables:

P (impar) = 3/6 =1/2 = 0.5

Solución b

Queremos extraer un 2 o un 5, es decir, cualquiera de estos casos es favorable, por lo tanto:

P (2 o 5) = 2/6 = 1/3 = 0.33

Solución c

En este caso hay 3 eventos favorables: sacar 1, 2 o 3:

P (menor que 4) = 3/6 = ½ = 0.5

Solución d

Acá hay un evento favorable adicional, porque nos piden los valores menores o iguales que 4, entonces:

 P (valor menor o igual que 4) = 4/6 = 2/3 = 0.67

Solución e

Un lanzamiento diferente de 3, significa que salió cualquiera de los otros valores:

PRINCIPIOS BASICOS DE PROBABILIDAD:

1.) Principios de oscilación: el valor más pequeño que puede temer una probabilidad es cero %( probabilidad nula, evento que no ocurrirá); el valor mayor que puede tener una probabilidad es 1 (principió de certeza si ocurrirá) se resume en.

2.) Principio de nulidad o probabilidad nula: Es aquella que evalúa eventos imposibles.

3.) Principio de certeza: Se basa en el conocimiento de que un evento siempre ocurrirá, su valor numérico siempre es igual a uno.

Tipos de eventos de probabilidad. 

1. Eventos independientes: Se dan cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplo:

 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar tostados en ambos caiga número par?

2. Eventos dependientes: Se dan cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno de los eventos está íntimamente relacionada con la probabilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplo:
Cuál es la probabilidad de que saque dos pelotas amarillas sin devolución?

3. Eventos mutuamente excluyentes: se da cuando la ocurrencia de uno de ellos  elimina totalmente la posibilidad de ocurrencia del otro.

Ejemplo:

Al lanzar un dado el evento a es que caiga un 3 y el evento B es que caiga un 5.

Ambos eventos no pueden ocurrir al mismo tiempo, porque al lanzar un dado puede que caer cualquier número de 2 al 6 pero no puede caer tres y cinco al mismo tiempo.

4. Eventos no excluyentes: Son eventos que pueden ocurrir al mismo tiempo.

Ejemplo:

Se lanza un dado no cargado, usted gana 10 quetzales y el resultado es menor que 5 o divisible por 2 ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

R// La probabilidad de ganar Q10 en este juego es de 83%.

Distribución binomial:

Es una distribución de posibilidades basado en el binomio de Newton, se utiliza con el objetivo de encontrar valores de probabilidad de acontecimientos independientes que poseen únicamente dos opciones o alternativas tales como hombre o mujer, bueno o malo, deficiente o eficiente, joven o adulto, vender o no vender, producir o no producir, defectuoso o no defectuoso, etc.

Triángulo de Pascal.

En la distribución binomial hay tres variables:

1. n es el número de veces que repetimos el experimento.
2. p es uno de los dos resultados al que llamaremos éxito.
3. q es el otro resultado posible al que llamaremos fracaso.

Por ejemplo: 

Ejemplo:

Se detalla una aplicación del Binomio de Newton en el campo de la salud, específicamente en Nefrología, el estudio de Ortega, Martínez y Gamarra (2006), titulado “Mortalidad en pacientes con falla renal crónica durante los primeros 90 días de terapia con hemodiálisis”, señala que los pacientes que inician la terapia dialítica con acceso vascular temporal (catéter) es del 90.76% y menos del 10% de los pacientes que la inician con fístula arteriovenosa interna, de lo cual se infiere que, puesto que la enfermedad renal es asintomática en gran parte de su desarrollo, los pacientes llegan tarde a la consulta con el nefrólogo y entran a la terapia de diálisis por urgencias, menos del 10% realizan el proceso de prediálisis y preparación integral al tratamiento que le salvará su vida de modo inmediato. 

En esta aplicación, la probabilidad de ocurrencia que un paciente entre a la terapia con acceso vascular temporal, catéter, que llamaremos:

 P es de 0,9076 

Mientras que q o pacientes con fístula arteriovenosa interna es de 0,0924.

 La pregunta: de los 10 nuevos pacientes que lleguen a la unidad renal, ¿Qué probabilidad hay de que todos los nuevos pacientes entren a la terapia con catéter?

¿Cuál es la probabilidad de que todos los nuevos pacientes entren a la terapia con fístula? 

De acuerdo a la distribución binomial descrita más arriba, la probabilidad de que todos los 10 nuevos

pacientes inicien la terapia con catéter es de p10 o 0.907610 es igual a 0,3792.

Mientras que la probabilidad de que lleguen con fístula es de q10 o 0.092410 que es igual a 0,00000000045, tiende a cero.

Para lograr la probabilidad completa de 1 se deben tener las diferentes combinaciones, probabilidad de que un paciente llegue con fístula y nueve con catéter, dos lleguen con fístula y ocho con catéter, etc.

 

 

 

ANALISIS COMBINATORIO, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto, sin tener   en cuenta la naturaleza de estos elementos.

Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder.

El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos.

El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal (1596 - 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades.

Leibiniz (1646 - 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”. El mayor impulsor de esta rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones.

¿Qué es la función factorial?

La función factorial se representa con un signo de exclamación “!” detrás de un número. Esta exclamación quiere decir que hay que multiplicar todos los números enteros positivos que hay entre ese número y el 1.

Por ejemplo:

 

A este número, 6! le llamamos generalmente “6 factorial”, aunque también es correcto decir “factorial de 6”.

Una permutación: Es el número de maneras distintas en que se pueden ordenar los elementos de un conjunto.

Hay que tener en cuenta  lo siguiente:

1. Sí importa el orden de los grupos, ya que el intercambio entre dos elementos distintos genera una nueva permutación.

2. No se repiten los elementos, ya que de repetirse o ser iguales entre si, al intercambiarlos no se genera una nueva permutación

Para obtener el total de maneras en que se pueden colocar  elementos en  posiciones se utiliza la siguiente fórmula.

Permutaciones sin repetición:

a. Permutaciones sin repetición: No se pueden repetir parejas.

P= Permutación

n= número total de elementos a permutar.

r= número de veces ó elementos que serán permutados. 

Ejemplo 1. 

Calcular las permutaciones de 6 elementos en 6 posiciones.

Solución:

Hay 720 formas distintas de acomodar  elementos.

Ejemplo2:

¿Cuántas permutaciones hay con 6 objetos y 2 lugares?

b. Permutaciones con repetición.

Se utiliza esta modalidad cuando se da a conocer el número de permutaciones de objetos en donde alguno de ellos son iguales.

Ejemplo:¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra BANANA?

Solución:

En total, se pueden formar 60 palabras diferentes con las letras de la palabra BANANA.

c. Permutaciones circulares. 

Son las permutaciones en las cuales los eventos se realizan en círculo.

Ejemplo:

¿De cuántas maneras se pueden sentar cinco amigos alrededor de una mesa circular?

solución:

número elementos n = 5 

Ahora calculamos el número de permutaciones circulares.

 Los 5 amigos, se pueden sentar de 24 formas diferentes.

COMBINACIONES

Es una selección de elementos sin importar el orden:

Ejemplo:

¿Cuántas combinaciones existen si es que tomamos 2 objetos de un conjunto de 7?

Ejemplo 2:

Queremos escoger un equipo de 6 personas de un conjunto de 9 ¿Cuántas formas existen de logras esto?

Existen 84 formas  de lograrlo. 

Método de Análisis Insumo - Producto.

El modelo insumo fue introducido por primera vez a finales de los años 40 por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria, con  el propósito de satisfacer demandas futuras para diversos productos. Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias, por ejemplo un incremento en la demanda de automóviles no solo conducirá a un aumento en los niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una variable de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los neumáticos, etc.

El modelo presupone la existencia de interrelaciones entre industrias de diversos sectores los cuales se ven directamente o indirectamente afectados por la oferta y demanda que tiene sus productos es la forma transversal, el objetivo de ese análisis es determinar o predecir los niveles futuros de producción de bienes y servicios que serán necesarios de producir para satisfacer las demandas futuras de los diversos bienes y servicios.

Ejemplo:

Azúcar caña real desea estimar la producción total de cada sector industrial. La demanda final va cambiar de 460 a 500 para la industria E y de 940 va a cambiar a 1,200 para la industria F. Cuál es la producción total nueva si hay un cambio considerando.

Paso 1. Establecer la estructura básica de producción, hay que revisar que todos los totales cuadren y si no cuadran agregar una fila o columna ficticia para hacerla cuadrar.

Paso 2. Plantee las ecuaciones de producción con base a la estimación de cada demanda. 

Las ecuaciones quedan así:

Paso 3. Escribir las ecuaciones en términos matriciales. 

Paso 4. Definir la ecuación de insumo producto, siempre tiene la siguiente forma. 

 Paso 5. Interpretación del resultado.

Nueva producción industria E= 1,390

Nueva producción industria F= 1,851

METODO DE ASIGNACIÓN.

El problema de asignación consiste en encontrar la forma de asignar ciertos recursos disponibles (máquinas o personas) para la realización de determinadas tareas al menor coste, suponiendo que cada recurso se destina a una sola tarea, y que cada tarea es ejecutada por uno solo de los recursos. Es uno de los problemas fundamentales de optimización combinatoria de la rama de optimización o investigación operativa en matemática. El modelo se puede aplicar a la asignación de empleados a tareas, de fábricas a productos, de vendedores a territorios, de postores a contratos, etc. Con una sencilla manipulación, el método también se puede aplicar al caso en el que se pretende maximizar cierta cantidad.

VEAMOS UN EJEMPLO Y LOS PASOS A SEGUIR 

La empresa Servicentro Pacay, localizados en Cobán A.V. Cuenta con un equipo de 4 mecánicos que presentan una oferta de servicios automotriz a vehículos de la constructora San Francisco. En la matriz siguiente, las filas muestran el número de Vehículos a prestarle servicio de llantas, y las columnas los mecánicos que ofertan. Obtener la mejor alternativa minimizando los costos de servicio. 

Paso 1. Verificar que todas las casillas tengan un costo unitario si hay alguna casilla vacía agregar costo ceros. 

Paso 2. La tabla debe ser balanceada (número de filas igual al número de columnas) si no estuviera balanceada se debe agregar una fila columna con costo cero, para balancearla.

R// En este caso si esta balanceada.

Paso 3. Elegir el valor más pequeño de cada fila y restarlo de todos los elementos de la fila.

Paso 4. Elegir la tabla resultante del paso 3 tomar el menor valor de cada columna y restarlo de cada elemento de la misma columna. 

Paso 5. Se procede a trazar el menor número de líneas posibles, de modo que todos los ceros queden tachados. Las líneas se trazan donde hay más ceros y solo pueden tratarse  líneas horizontales y verticales.

Paso 6. Responder la pregunta el número de líneas es igual al orden (tamaño de la matriz)

R// El número de la matriz no es igual al numero de líneas.

Paso 7. Si la respuesta anterior fue no, se selecciona el menor valor no tachado de todas la matriz. Ese valor restarlo de todo elemento no tachado y sumarlo a los elementos de la intersección de las líneas.

Paso 8. Volvemos a repetir el paso 5 al paso 7, hasta que el número de línea sea igual al orden de matriz.

El número de líneas es igual al orden (tamaño de la matriz)

Paso 9. Se da la solución al problema.